请问这个积分有没有什么比较快速的解法?非常感谢两位提出正解的同志。但我只能选择一个最佳....
来源:学生学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/07/01 08:13:56
请问这个积分有没有什么比较快速的解法?
非常感谢两位提出正解的同志。但我只能选择一个最佳....
如果a=0,b>0时,
原式=∫(0,π/2) 1/b^2cos^2x dx
=1/b^2*tanx |(0,π/2)
=+∞
如果a>0,b=0时,
原式=∫(0,π/2) 1/a dx
=π/2a
如果a,b>0时
被积函数=2asin^2x/(2a^2sin^2x+2b^2cos^2)
=(a-acos2x)/[(a^2+b^2)-(a^2-b^2)cos2x]
令u=tanx x=arctanu dx=du/(1+u^2) cos2x=(1-u^2)/(1+u^2)
原式=∫(0,+∞) [a-a(1-u^2)/(1+u^2)]/[(a^2+b^2)-(a^2-b^2)(1-u^2)/(1+u^2)]*du/(1+u^2)
=∫(0,+∞) (a+au^2-a+au^2)/[(a^2+b^2)(1+u^2)-(a^2-b^2)(1-u^2)](1+u^2) du
=∫(0,+∞) (au^2)/(a^2u^2+b^2)(1+u^2) du
=∫(0,+∞) a/(a^2-b^2)(1+u^2) du - ∫(0,+∞) b^2/a(a^2-b^2)[u^2+(b/a)^2] du
=a/(a^2-b^2)*arctanu|(0,+∞) - b^2/a(a^2-b^2)*a/b*arctan(au/b)|(0,+∞)
=[a/(a^2-b^2)-b^2/a(a^2-b^2)]*π/2
=π/2a
我勒个去。。。太复杂了。。。。。
收起
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