已知A是n矩阵,A^2=A,且秩(A)=r,证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形以及行列式|A+E|的值.
来源:学生学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/07/01 01:20:48
已知A是n矩阵,A^2=A,且秩(A)=r,证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形以及行列式|A+E|的值.
因为 A^2=A
所以 A 的特征值只能是 0 和 1.
且由 A(E-A)=0 得 r(A)+r(E-A)
因为 A^2=A
所以 A 的特征值只能是 0 和 1.
且由 A(E-A)=0 得 r(A)+r(E-A)<=n
又因为 n=r(E)=r(A+E-A)<=r(A)+r(E-A)
所以 r(A)+r(E-A)=n.
即有 n-r(A) + n-r(E-A) = n.
所以 AX=0 的基础解系 与 (E-A)X=0 的基础解系 共有n个向量
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因为 A^2=A
所以 A 的特征值只能是 0 和 1.
且由 A(E-A)=0 得 r(A)+r(E-A)<=n
又因为 n=r(E)=r(A+E-A)<=r(A)+r(E-A)
所以 r(A)+r(E-A)=n.
即有 n-r(A) + n-r(E-A) = n.
所以 AX=0 的基础解系 与 (E-A)X=0 的基础解系 共有n个向量
所以A有n个线性无关的特征向量
所以A可对角化.
又由 r(A)=r
所以A的特征值为 1,...,1,0,...,0 (r个1, n-r个0)
--可对角化的矩阵的秩等于矩阵的非零特征值的个数
所以A的相似对角形矩阵为 diag(1,...,1,0,...,0)
又因为 A+E 的特征值为 2,...,2,1,...,1
所以 |A+E| = 2^r.
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