设函数f(x)=Sin x -Cos X +x +a (a 属于R)若0小于a 小于1,证明:f(x)在区间[0,派/4]上有且只有一个零点若对任意x 属于[0,派/2],不等式f(x)大于2x 恒成立,求a 的取值范围
来源:学生学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/07/05 01:09:10
设函数f(x)=Sin x -Cos X +x +a (a 属于R)
若0小于a 小于1,证明:f(x)在区间[0,派/4]上有且只有一个零点
若对任意x 属于[0,派/2],不等式f(x)大于2x 恒成立,求a 的取值范围
证明:
f(x)=sinx-cosx+x+a
求导:
f'(x)=cosx+sinx+1
=√2sin(x+π/4)+1
0
f'(x)=cosx+sinx+1 x∈ [0,派/4]
所以 f'(x)>0
所以 f(x)=Sin x -Cos X +x +a 在 x∈ [0,派/4]上是增函数
因为 0x=0 f(0)=-1+a<0
x=派/4 f(派/4)=派/4+a>0
所以 f(x)在区间[0,派/4]上有且只有一个零点
f(0)*f(π/4)<0 . sinx-cosx周期2π,π/4<π/2。。。。。。
易知f'(x)=cosx+sinx+1
因x∈[0,π/4]时cosx>0,sinx>0
则x∈[0,π/4]时f'(x)>0
表明f(x)在x∈[0,π/4]上单调递增
易知f(0)=a-1
因0又知f(π/4)=π/4+a
因00
于是f(0)f(π/4)<0
全部展开
易知f'(x)=cosx+sinx+1
因x∈[0,π/4]时cosx>0,sinx>0
则x∈[0,π/4]时f'(x)>0
表明f(x)在x∈[0,π/4]上单调递增
易知f(0)=a-1
因0又知f(π/4)=π/4+a
因00
于是f(0)f(π/4)<0
表明f(x)在x∈[0,π/4]上有且只有一次穿越x轴
即f(x)在x∈[0,π/4]上有且只有一个零点
收起
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