已知函数f(x)=ax-1-lnx (a∈R) ①求f(x)单调区间:②若函数在f(x)在x=1时取得极值 对任意x∈(0,正无穷),f(x)≥bx-2 求实数b的取值
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/27 22:41:47
已知函数f(x)=ax-1-lnx (a∈R) ①求f(x)单调区间:
②若函数在f(x)在x=1时取得极值
对任意x∈(0,正无穷),f(x)≥bx-2 求实数b的取值
①f(x)=ax-1-lnx 定义域是x>0
求导得到f‘(x)=a-1/x
当a0时,令a-1/x>0 得到x>1/a
令a-1/x
定义域:(0,+∞) 求导,令f'(x)=a-1/x=0,x=1/a,单增区间(1/a,+∞),单减区间(0,1/a) 所以这里就要对a的范围再讨论一下了,a≥0和a<0的情况 很明显,此时a=1 令g(x)=f(x)-bx+2=(1-b)x-lnx+1 求导,g‘(x)=1-b-1/x 全部展开 定义域:(0,+∞) 求导,令f'(x)=a-1/x=0,x=1/a,单增区间(1/a,+∞),单减区间(0,1/a) 所以这里就要对a的范围再讨论一下了,a≥0和a<0的情况 很明显,此时a=1 令g(x)=f(x)-bx+2=(1-b)x-lnx+1 求导,g‘(x)=1-b-1/x 若b≥1,g(x)单调递减,很容易验证当x>e后,g(x)<0; 所以,b<1 令g'(x)=0,x=1/(1-b),此时取得最小值 g(1/(1-b))=2-In(1/(1-b))≥0 0<1/1-b≤e² b<1-1/e² 收起
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