一道高三立体几何的题目侧棱长为3的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1上点,CM=2C1M,点N为BB1上的点,B1N=2BN,且异面直线AD1与MN的夹角为30°,求该正四棱柱体积与表面积.为啥∠BC1B1等于30他是异面角么?
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/07/02 03:34:25
一道高三立体几何的题目
侧棱长为3的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1上点,CM=2C1M,点N为BB1上的点,B1N=2BN,且异面直线AD1与MN的夹角为30°,求该正四棱柱体积与表面积.
为啥∠BC1B1等于30他是异面角么?
过N作NE∥B1C1交CC1于E,过C1作C1F∥MN交BB1于F.
容易证得:BCEN是矩形,MNFC1是平行四边形.
∵BB1=3,∴容易得到:EM=1,BF=2.
显然,AD1∥BC1,∴依题意有:BC1与MN的交角=30°,∴∠BC1F=30°.
设BC=a,那么:根据勾股定理,
在Rt△NEM中,有:MN^2=NM^2+EM^2,∴FC1^2=a^2+1,得:FC1=√(a^2+1).
在Rt△BB1C1中,有:BC1^2=BB1^2+B1C1^2,∴BC1^2=a^2+9,得:BC1=√(a^2+9).
根据锐角三角函数定义,sin∠B1BC1=B1C1/BC1=a/√(a^2+9).
根据正弦定理,有:FC1/sin∠B1BC1=BF/sin∠BC1F,
∴√(a^2+1)/[a/√(a^2+9)]=2/sin30°=4,∴√(a^2+1)=4[a/√(a^2+9)]
两边平方,得:(a^2+1)=16a^2/(a^2+9),∴(a^2+1)(a^2+9)=16a^2,
∴a^4+10a^2+9=16a^2,得:a^4-6a^2+9=0,即:(a^2-3)^2=0,∴a^2=3,得:a=√3.
于是:
正四棱柱的体积=a^2×3=9,正四棱柱的表面积=2×a^2+4×3a=6+12√3.
上边长为1乘以根号3 之后可以求解
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