用定积分求极坐标图形面积()lz我是自学微积分,所以问题很弱智,比如求r=1+sin(Θ) r=3sin(Θ)的重叠面积.图形画出来就是求(0,Л/6)上r=3sin(Θ)的面积加上 (Л/6,Л/2)上r=1+sin(Θ)的面积.那
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/27 17:50:26
用定积分求极坐标图形面积()
lz我是自学微积分,所以问题很弱智,
比如求r=1+sin(Θ) r=3sin(Θ)的重叠面积.
图形画出来就是求(0,Л/6)上r=3sin(Θ)的面积加上 (Л/6,Л/2)上r=1+sin(Θ)的面积.那是直接对r=1+sin(Θ) r=3sin(Θ)分别积分吗?
极坐标的面积微元是dA=(1/2)r²dθ
因此本题就是计算:
A=(1/2)∫[0--->π/6] 9sin²θ dθ+(1/2)∫[π/6--->π/2] (1+sinθ)² dθ
=(9/4)∫[0--->π/6] (1-cos2θ) dθ+(1/2)∫[π/6--->π/2] (1+2sinθ+sin²θ) dθ
=(9/4)(θ-(1/2)sin2θ) |[0--->π/6] + (1/2)∫[π/6--->π/2] (1+2sinθ+(1/2)(1-cos2θ)) dθ
=(9/4)(π/6-(1/2)(√3/2))+(1/2)∫[π/6--->π/2] ((3/2)+2sinθ-(1/2)cos2θ) dθ
=3π/8-9√3/16+(1/2)((3/2)θ-2cosθ-(1/4)sin2θ) |[π/6--->π/2]
=3π/8-9√3/16+(1/2)((3/2)(π/2)-0-0-(3/2)(π/6)+√3+(1/4)(√3/2))
=5π/8
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用定积分求极坐标图形面积()lz我是自学微积分,所以问题很弱智,比如求r=1+sin(Θ) r=3sin(Θ)的重叠面积.图形画出来就是求(0,Л/6)上r=3sin(Θ)的面积加上 (Л/6,Л/2)上r=1+sin(Θ)的面积.那
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